2013年11月28日木曜日

【ご案内】冬休み、シグマゼミに勉強しに来ませんか?


■photoby tableatny
冬休みが近くなり、そろそろ冬の準備を始めなければ、という季節です。
そう、、、無味乾燥な宣伝に、せめてかわいらしい写真で気を引こうというあざとい作戦・・・
あまり気にせず、"冬の集中講座" のご案内です。

2013年11月20日水曜日

AOの指導ではこんなことしてました。


photo by joiseyshowaa
ちょっとキツ目のAO入試に挑戦した高3生。
無事に合格の知らせが来たので、少しホッとしたところです。(11月15日現在)
AOの難しさについては、一度指導中に記事にしてはいるのですが、では実際に何をどう指導したかというのを書いてませんでしたので、今回はそれを整理してみます。

2013年10月21日月曜日

高1生は科目選択の時期です


photo by Calsidyrose
9・10月辺りになると、だいたいどこの高校も進路学習的なものが始まる、、、と思っていたんですが、学校によってはそうじゃないようで。。。
塾の通信には中学版・高校版ともに進路指導的な記事を4月からずっと書き続けていているし、生徒にも事ある毎にアレヤコレヤと話しているんで、まぁ「今更言わなくても」という部分もあるんですが、新規の生徒さんと話すと、どうしても進路選択に関する温度差が大きいんですよね。
というわけで、高校での、というより高1での大きなイベントの1つ『科目選択』について書いてみます。

2013年10月8日火曜日

志望理由書にどこまでこだわるか

photo by mortimer?

前回、「AOって、全部が全部、『出せば入れる』なんて簡単なもんじゃないんですよ」ということを書きました。
まぁ、、、AOの文字から「アホでもOK」とか「どーでもAO」とか揶揄されることの方が多いわけですが、でも、上位大学ではかなり厳しい審査があるというのは前回も書いたとおり。
今回はその審査の一つに当たる、"志望理由書"について。

2013年10月7日月曜日

"AO入試"の考え方


高3生はそろそろ専門学校やAO入試・推薦入試の結果が出始める頃
一般入試を前提に頑張っている生徒は、周りの生徒が進路を確定し始めている様子を見て、徐々に焦り始める時期です。
うちの塾にもAOで受験をする高3生がいまして、9月辺りからは志望理由書やら提出課題やらの作成に必死になっています。
ということを書くと、「え?AOってそんなに難しいの?すんなり通るもんじゃないの?」と思われる方も少なくなさそうなので、あまり良く知られていないっぽいAO入試について書いてみようかと。

2013年10月4日金曜日

【おしらせ】文系講師をお願いしました


本当は8月中から募集していたんですが、なかなか見つかる(もしくは見つけてもらえる)ものでもなく、しばらく時間が経ちました。
まぁ、上の求人を見ていただけるとわかりますが、、、大手やFCの塾講師募集と見比べると、かなり条件がキツイ気がします(苦笑)
そんな中、つい先日ですが頑張ってくれそうな学生さんが応募してくれたので、ぜひお願いすることになりました。

「でも、あれ?『バイト使わない』って言ってなかったっけ?」と突っ込まれそうなので、ちょっとだけ弁明を。

2013年9月24日火曜日

【お答えします】「どこか『いい学校』ないですか?」


photo by kenteegardin
9月も終わりに近づき、学校のカレンダー上ではそろそろ後期。
中3生は受験に向けての総合ABCが始まり、高3生はAOや推薦入試の本格化・センター試験の出願、高1生は文理選択を迫られると、まぁ否が応でも将来についてアレコレ考えなければならない時期に入りました。
うちの塾では4ヶ月くらいおきに3者面談の日程を組んでいるのですが、どのタイミングで面談をしても進路に関わる話は避けて通れません。
で、面談の際に聞かれて非常に返答に困るのが、表題の『いい学校』ってやつです。

2013年9月16日月曜日

裸の王様にならないように


photo by jessleecuizon

Twitterで全国のいろいろな学校や塾・予備校の先生の発言を見ているんですが、ほんとうに面白いんですよね。
今も『関係代名詞の指導法』について何人かの先生の発言を流し読みしていたんですが、新しい視点に触れられることも多く、勉強すべきことはまだまだあるなぁといつも思います。

2013年9月15日日曜日

塾の売り物はなにか?


ブログでもTwitterでもそうですが、おそらく一般的な客商売のイメージから比べると、私の発信している言葉は、内容も表現もかなりキツイと思うんですよね。
少なくとも『千客万来』という感じではないし、実際、お客さんである生徒さんにも「やる気もなくだらだら来るくらいなら、キッパリ辞めれよ」と平気でいってますし。
そうなると、どうも、フツーの塾とは売っているもの自体が違うんじゃないかという気がしてきます。

2013年9月11日水曜日

頭のいい子には何をさせるか


前回の記事を書いてからのここ数日、いわゆる「頭のいい子」に対してどういう指導をすべきかっていうのをずっと考えていました。
考えていたというか、正確には前々から考えていたことをメールのやり取りや会話の中で改めて言葉として組み立て直していったという感じなのですが、さて、うまく伝わるでしょうか。。。

2013年9月3日火曜日

何にこだわって勉強をするか


昨晩の授業後、あるお母さんと1時間ほど話したんですが、そこで思ったのは、やっぱり、自分は、もしくはうちの塾は、点数とか順位とかに対するこだわりが薄いなぁと。

2013年8月29日木曜日

データから考える、高校受験のその先 3


先日、仕事でお世話になっている方から電話があり「知り合いの高校生が○○高校で何番目くらいの成績なんだけど、国公立大って行けると思う?」と。
で、即座に「無理じゃないですかね」と答え「そうだよねぇ」と同意を得たわけですが、どうもそのお知り合い(高2)は「行ける」と思っているらしい。
なんでそんなに自信満々に「無理でしょ。」と言い切っちゃうか、生徒側は行けると思っているか、という話。

2013年8月24日土曜日

やる気が無い子にはどうすれば?


私の場合、ブログ記事を書くにも意外と体力と気力とあと勢いとが要るのですが、その原動力の1つになっているのは"何かに対する怒り"なような気がします。
学校の指導がどうにも納得行かないからアレコレ書いてみたり、試験の問題がどうにも腑に落ちないからザクザク斬ってみたり。

2013年8月14日水曜日

夏の講習がひとまず終わりました、、、が、


道コンの採点結果も無事に提出し、夏の集中講座が終了しました。
とりあえず、指導側が倒れる前に無事終了できたようです(笑)

2013年7月29日月曜日

人材募集始めます


夏期講習のテキストがなかなか仕上がらず、結局、講習は始まっているのに、まだテキストの微調整やらをしています。
ブログ・Twitterどころか月末の通信も手がついていないわけですが、それでも日々の事務作業は放っておくとどんどん積み重なっていくという。。。
ブログより前に通信書けよっていう話も。。。orz

2013年7月17日水曜日

【感謝。】そろそろ定員に到達するようです


先日、『新規のお問い合わせが立て続けに来ています!』という、龍の刺繍でも入った黄色の開運財布でも買わせるかのような非常に胡散臭いツイートを流したのですが、実際のところ、ありがたいことに、ここひと月ほどの間にメール・電話を通して10件近くの問い合わせをいただいています。

2013年7月10日水曜日

塾関係者のコミュニティサイトなんて、どうでしょう?


学びやむげんの鷹取先生から記事にコメントが付いたのをきっかけに、ちょっとだけコメント部分をカスタマイズしてみました。

2013年7月8日月曜日

【お答えします】「"夏期講習無料招待"とかしないんですか?」


先日Twitter(@sigma_seminar)でも流したんですが、最近はネット上にもいろんな教育サービスが出ていまして、しかも無料のものも探せば結構あります。
manavee』なんかもスゴイですよね。

でも、「じゃぁ何でもかんでも無料でいいか」といえばそうではないと思うんですよね。
先日ある方と話してる最に「あんまり入会キャンペーンみたいのやってないですよね?」みたいな話になったので、その辺りの考え方を整理してみます。

2013年7月6日土曜日

高校選びの予備知識 ~私学の合否基準表から読めること

PhoTones Works #384 - 無料写真検索fotoq
photo
by PhoTones_TAKUMA

書くべきか、見なかったことにしてやり過ごそうか迷いましたが、育ててもらった(もしくは、好き勝手にやらせてもらった)多大な恩もあるので、敢えて書いたほうがいいのかなぁと。。。
いつもお世話になっている某塾のT先生の昨日の記事で私の古巣である某高の合格基準表が紹介されていたので、そこから考えたことを、隠し立てせずそのまんま書いてみようかと思います。

2013年7月3日水曜日

【高校数学】 "絶対値"の方程式・不等式 2


『高1生が埋まる前に穴をふさいどくよ』シリーズの 第12回。
図版作成ソフトの不調によりしばらく間があきましたが、引き続き"絶対値"の方程式・不等式です。
(それより、集中講座の準備は大丈夫なのか、俺。。。)

2013年7月1日月曜日

【ご案内】夏休み、シグマゼミに勉強しに来ませんか? ~集中講座


photo by suneko
なんか、昨日から夏休みっぽい画像を探していますが、、、
これを見ると、講習じゃなく違うところに行きたくなるような。。。

あまり気にせず、引き続き "夏の集中講座" のご案内です。

2013年6月30日日曜日

【ご案内】夏休み、シグマゼミに勉強しに来ませんか?

ブログに付く最初のコメントが「Sprinkleが面白かったので、またゲームの紹介してください!」とかだったらどうしようかとドキドキでしたが、どうやらそんなこともなかったようで(笑)

てわけで、ふつーに塾の宣伝を。
先日「シグマゼミってどんな塾」→「変な塾です」という、身も蓋もない記事を書いたので、読んでいただいた方にはまぁおおまかな雰囲気は伝わったかとは思いますが、夏休みもあることですし、補足記事でも書いてみようかと。

【息抜き用】 iアプリゲーム Sprinkle


なんかここのところ、柄にもなく中途半端にアレコレ書い続けているので、真剣に記事を追っかけてくれてる方はきっとお疲れのことでしょう。
というわけで、たまには息抜きをしてもいいかなぁと。

2013年6月29日土曜日

失敗を語るということ

Orz in GreenIsland @Taiwan - 無料写真検索fotoq
photo by icools
なんか、最近の記事を読み返してみると、ぱっと見、私のスタンスがとっても後ろ向きな感じなんですが。。。
高校当時の話なんて、今のところ、ただの1つも自慢できる部分が書かれてないですからね(苦笑)
でも、そんな話であっても、ちゃんと意図を持って書いているし、生徒にも話してるんですよ。

2013年6月28日金曜日

高校選びの予備知識 ~制服で選ぶって子も居ますね・・・

私的にはあんまり制服にはこだわらないんですが、、、(というか、熱を込めて制服について語られても困るでしょうが。。。)
生徒の中には「あそこの制服が可愛いくて着たいから!」という子も確実に居ます。
というわけで、今回は制服について。

2013年6月26日水曜日

高校選びの予備知識 ~進学実績は重要か?


昨日のアクセスが妙に多くて「なんだろう?」と思ったら、鷹取先生のブログで記事を紹介していただいていたんですね。
なんだかいつもすいません。
・いつも折にふれて紹介してもらっている鷹取先生に
・せっかく来ていただいたのに、あまり中身が無いことにガッカリしている読者の方に

2013年6月25日火曜日

高校選びの予備知識 ~通学時間を考える

前回は「教育課程表を見てみましょう」ということでしたが、、、まぁ現実問題としては、それよりも制服や部活、行事の方なんかに目が行くものです。
てわけで、もうちょっと現実的な所で、"通学時間"について。

2013年6月24日月曜日

高校選びの予備知識 ~教育課程表を読む

navigation (cc) - 無料写真検索fotoq
photoby marfis75

いつの間にやら『札幌市立高校 合同説明会』の告知が出ていまして、先日慌ててTwitterで流しました。
 →告知はコチラ 
私立高の場合は、学校祭やら私学展やら学校公開やらと、年に何度かの説明会を催すので11月頃までは話を聞く機会があるんですが、公立高校の学校説明会はたいてい夏休み辺りに一回こっきりなんです。
なので、この時期を逃すと、その学校についての情報が手に入らないままになってしまったりするんですよね。

ちょっとでも受験先の候補として上る可能性があるのであれば、たとえ今は候補になくても、覗いておいてもいいかと思います。

2013年6月19日水曜日

【高校数学】 "絶対値"の方程式・不等式 1


『高1生が埋まる前に穴をふさいどくよ』シリーズの 第11回。
7月のアタマに進研模試があるでしょうから、それくらいまでに定数の扱い方をひと通り整理し終わりたいなぁと思いつつ、図版とか作ってるとなかなか進まないですね。。。
どこまで行けるかわからないけど、引き続き"絶対値"の関連で今回は方程式・不等式を解いてみます。

2013年6月17日月曜日

「シグマゼミってどんな塾?」 →変な塾です(笑)

あるお問い合わせに対しての返答を考えている時に、「うちってどんな塾なんだろう」と改めてマジメに考えてしまいまして。
自分にとっては至ってフツーのこととしていることでも、他の塾の様子とアレコレ比較しながら考えてみると、「あ、うち、ちょっと変かも」と思う部分が多々ありますね。
返信のメールを書いているうちになんだか笑えてきた(苦笑まじり)のでちょっと整理してみようと。

2013年6月15日土曜日

学習意欲について、もう少し

昨日の「学習意欲の喚起のためには、直接的な報酬はオススメしない」という記事を書いてから、「そういえば、似たようなことをアレコレ例を出して実証してるプレゼンがあったなぁ」と思いだしたもので探しました。
TEDというセミナーの20分弱の講演ですが、これはぜひご覧頂きたい、、、のだけど、「コレ見てね」で終わると自分のことが書けないので、それは最後に回しまして。。。

2013年6月14日金曜日

学習意欲を維持させるのにオススメできないこと

定期試験が一段落つきました。
昨日まで、教室を早く開けたり何だりと足が痛くなるほどバタバタしていましたが(←運動不足)、今日はうってかわって、のんびりと時間が過ぎています。
そして、何やらボォ~っとしておりまして、、、えぇ、燃え尽き症候群ってやつですね、はい。

というわけで、こうならないための「意欲を持続させる方法」を考えてみようかと。

2013年6月13日木曜日

簡略化・翻訳で『二項定理』をシンプルに

"学習力"の要素として"簡略化する"ことと"翻訳する"ことを挙げました。
要は「複雑なものを複雑なままどうにかしようなんて思うな」ということです。
いかにして自分の頭のなかに収めるか、そこを工夫しなければ学習したことになりませんからね。

というわけで、もうちょっと"簡略化"と"翻訳"の例を挙げてみます。

2013年6月12日水曜日

自分なりに"翻訳する力"がものすごく大切です


前回書いたように、基礎学力以前のものとして"学習力"というのがあるように思います。
小難しく言えば「学び取る態度」とでも言いますか、「与えられた情報を上手く消化する力」とでも言いますか、そんな感じの能力。
私自身は別に教育学の専門家でもなければ認知心理にも詳しくはないですが、でも、実際に生徒を見ていると、とにかく勉強の仕方進め方が下手です。
「そんなやり方じゃ、要点も覚えきれないだろ」と思うこともしばしば。

2013年6月11日火曜日

"学力" の前に "学習力" を鍛えよう


かなり以前に『"公式"に振り回されすぎです』や『こんなに頑張っているのにという人へ』のシリーズにも書きましたし、前回の『学習時間と成果が比例しない』にも書いたことですが、「やってはいるのに伸びない」という生徒の多くはとかく "勉強の仕方" が下手な気がします。

それは"学習力"とでも言えるもので、計算うんぬんや暗記どうのとかいうレベルの更にその前の段階の「学び取る力」という感じのもの。
これをちょっと考えてみようかと。

2013年6月8日土曜日

【お答えします】 「学習時間と成果が比例しない」


昨日、サイトをご覧の方から学習法についての質問を頂きました。
ちょうど生徒が帰った後で時間が空いていたので、思いつくままに返信したのですが、送信後にもうちょっとちゃんと書けないかなぁと思ったので、整理して記事にしてみようかと。

2013年6月6日木曜日

その学習計画表、ちゃんと機能しますか?


中高ともに定期試験の時期ということで、生徒たちは必死で試験範囲を振り返っています。
で、頑張るのはとてもいいんですが、「なんか頑張り方を間違ってないか?」という部分も多々ありまして。
同じ時間をかけるにしても、「なにをどう頑張るべきなのか」を整理してみようかと。

2013年6月5日水曜日

「うちの教科担任、ハズレらしくて・・・」


もし無人島に流されたら、あなたはどうしますか?
 ・絶望感に浸ったまま延々と文句ばかりたれて餓死を待つ
   それとも
 ・死なないために何としても水場を探し食べられるものを見つけ出す
さぁどっち?
っていう、そういう話。

2013年6月3日月曜日

【高校数学】 "絶対値"のグラフ

『高1生が埋まる前に穴をふさいどくよ』シリーズの 第10回。
当初は「10回くらいで終われるだろう」なんて思ってましたけど、本当に授業っぽく1から説明するつもりで書くと、意外とかかるものですね。。。
引き続き"絶対値"の扱い方です。

こんな小さなブログにも『いいねボタン』を設置する意味

前回に引き続き、「ブログリニューアルでしたこと」のメモ書きです。
前回同様、技術的な解説サイトはあちこちにあるので、細かなことはそちらに任せましょう。
こちらは、設置意図を中心として、営業面でどういう意味があるかについてを中心に書いてみます。

【備忘録】 ブログリニューアルでしたことリスト

以前にもこのブログを覗いてくれた方はお気付きかと思いますが、ここ半月くらいの間でアレコレいろいろとサイトの仕掛けをいじくっていました。
雰囲気がちょっとだけ明るくなって、アレコレ要素が増えたでしょう?
それぞれ、テンプレートを変更したからだったり、CSS(スタイルシート)やガジェットやらウィジェットやら呼ばれる部品を付けてみたりした結果です。
が、面白そうなものに次々と手を出して、脈絡なくいろいろと改造していたので、正直、何をどう改造したか、どこで失敗して何を外したかよく覚えていなかったりします。
というわけで、次回の模様替えの時に同じ苦労しないよう、もしどなたかが真似したいものがあった時にたどれるよう、やったことリストを整理しておこうかと。

2013年5月29日水曜日

【高校数学】 "絶対値"の場合分け

『高1生が埋まる前に穴をふさいどくよ』シリーズの 第9回。
前回に引き続き"絶対値"の扱い方。
"数字扱いする文字"の扱いがちょっとは見えてきたでしょうから、さらに話を進めてみます。


2013年5月25日土曜日

【高校数学】 "絶対値"の取扱説明書

『高1生が埋まる前に穴をふさいどくよ』シリーズの 第8回。
"数字扱いする文字"の扱いがちょっとは見えてきたでしょうから、さらに話を進めてみます。

今回は、これまた嫌いな人が猛烈に多い"絶対値"の扱い。
一度ちゃんとわかってしまえばその後は楽なものの最たるものなんですが、、、とは言えなかなかねぇ。。。

2013年5月23日木曜日

著名人による実名ツイートについて思うこと

こっちに書こうかTwitterで書こうか迷ったんですけど、「きっと教壇に立ってたら授業でも話すだろうなぁ」と思ったのでコチラにだらだら書いてみます。
(いちお自分の中では、「"500字程度で終わりそうな話題"はTwitterに書く」ってことにしてます)
数日前に、Twitterに60万ものフォロワーを持つある著名人が、店舗名を出して批判的なツイートを流したというのがニュースになりました。
この記事を見つけられるほどにネットを利用している方ならすでに大多数はご存知でしょうから、ニュースの詳細は省きます。
で、ニュースサイトのコメント欄やそれに続くいろいろな人のツイートでは「著名人が実名出して店の評価をするなんて、発言に対する影響力の大きさを考えたらとんでもない!」という事が主流になっているようです。
でも、店の評価を発言すること自体って、そんなにダメなことですかね?

2013年5月22日水曜日

【高校数学】 範囲に定数を含んだ不等式2

『高1生がつまづく前に穴埋めするよ』シリーズの 第7回。
えぇ。たった今テキトーに名前決めました。

  ・数字扱いする文字 (前半/後半)
  ・文字係数の方程式・不等式(その1/その2
  ・範囲に定数を含んだ不等式 (その1/その2) ←今回もここー ようやく半分!
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

なんかね、本当に、ニコニコ動画ででも『解説してみた』とかいって覆面かぶって授業したほうが早いんじゃないかと思ったりもするんですよ。。。
というわけで、前回の「解の範囲に定数を含んだ不等式の考え方」の続きです。

【高校数学】 範囲に定数を含んだ不等式

大半の高1生がつまづくであろう高校数学の重要箇所を、大雑把に何回かで書く予定 の6回目。
  ・数字扱いする文字 (前半/後半)
  ・文字係数の方程式・不等式(その1/その2
  ・範囲に定数を含んだ不等式 ←今回はここー
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

一気に書き上げて終わらす予定が、予定より内容増えた。。。orz
ま、気を取り直してやりましょう。

数直線はとても便利なツールです

まず今回の問題ですが、
【問題】
 (1) 不等式 $5x-4 < 2x+6$ を満たす自然数の個数を求めなさい。
 (2) 不等式 $5x-a \leqq 2x+6$ を満たす自然数$x$の個数がちょうど3個になるような定数$a$の値の範囲を求めなさい。
の(2)について考えるんでした。
と、その前に、前回確認した(1)ですが、これは、

というような感じで、まずは数直線を使って、解の範囲を考えるんでした。
上の数直線の緑で塗られている部分が「不等式を満たす$x$の場所」です。
つまり、「不等式を満たす自然数$x$はこの枠の中にありますよー」ってことなので、見たら確かに3つあることがわかるでしょ?と。

さて、問2に行く前に、補題としてコレはどうでしょう。
【問題】不等式 $\frac{2}{3} < x < a$ を満たす自然数$x$がちょうど3個になるような定数$a$の値の範囲を求めなさい。
まず、問題の意図が理解できるかどうかなんですが、、、

範囲に定数を含む不等式の解釈

$\frac{2}{3} < x < a$ というこの不等式、範囲を図に表してみるとこんな感じになります。

「左端は$\frac23$なんだろうけど、、、右端、薄くなってない?どこ?」って思ったあなた、それが正しい感覚。
つまりですね、さっきの不等式で表されている$x$の範囲は「$\frac23$よりは大きく、でも$a$よりは小さい」という範囲なんですが、その$a$というのがよくわからないわけです。
なぜわからないか。そろそろ慣れたでしょう?「$a$にはいろいろな値が入る可能性があるから」ですね。

$a$の値が2.5だとしましょうか。
もしくは$a$の値が3.4だったらどうでしょう?それから4.2だったら?
いろいろ考えられますよね?

ほら、こんな感じ。

範囲の右端が$a$なんて風に文字式で書かれているせいで、正確な場所がいまいち決められないわけです。
$a$の置き場所によっては枠内の自然数は2個になるし、違う場所なら3個にも4個にもなる。
で、問題を見ると、「不等式を満たす自然数$x$がちょうど3個になるように」と言われている。
つまり、この問題の意図は「じゃぁ右端をどこに置いたら自然数は3つになるの?」というわけです。

というわけで補題の解答を

不等式 $\frac{2}{3} < x < a$ の範囲は左端は$\frac23$と決まっていますから、自然数3個というのは1,2,3の3つのことです。
よって、この問題の場合、右端$a$は「1,2,3までが範囲に入って、4は範囲には入らないようにすれば良い」ということですね。
つまり、

大雑把に言えば3~4の間のどっかに$a$が置かれればいいってことでしょう。
引越し屋みたいなもんです。「あぁ、$a$はその辺に置いといて」みたいな感じ。

これを数学らしく不等式で表すと、問題に合うように自然数が3個になるような 「$a$を置いてもいい範囲」は $3< a< 4$となります。

まずここまでで、大半の生徒が混乱するのは「$a$の範囲を決める」ということに対する違和感なんですね。
「だって、$x$の不等式を解いてたんでしょ?」と頻繁に聞かれ、そして $3 < x< 4$ という不等式を作ろうとします。
コレはやっぱり、問題の意図がわかっていないんだと思うんですよね。
しっかりと頭で整理して置かなければならないのは、
・数直線上に$x$の範囲を図示したいのに、右端の$a$がどの辺りなのかよくわからない
という理解がまず先で、次に
・問題の条件に合うように$a$を置きたいのだが、いったいどこに置いたらいいのだろうか
ということなんだと思います。

数学教師は"大雑把な答え"は許してくれない。。。

というわけで、数直線を見ながら「3~4の辺りなら、枠内の自然数が3個になるよね」まではわかりました。

ただ、、、運送屋さんには「その辺りに置いておいて」で済むんですが、数学ではこの辺がとても厳密です。
「3~4って言うけどさぁ、じゃぁ、3は置いていいの?4はどうなの?」というのが最後のチェック。

もう一度確認してみましょう。
「不等式 $\frac{2}{3} < x < a$の表す範囲に、1,2,3までが範囲に入って、4は範囲には入らないようにすれば良い」ということでした。
では、$a$の値がきっかり3だったらどうでしょう?
不等式の範囲は$\frac{2}{3} < x < 3$となりますから、不等号の意味を考えれば、この範囲に3は含まれないことになります。
つまり、「$a$の置き場所としては3はふさわしくない」ということですね。

もう一方の4ではどうですか?
$\frac{2}{3} < x < 4$という範囲では、右端の4は含まれていませんから、「範囲に3は入って、4は入らないようにする」という条件には適していることがわかります。
つまり、「4の位置に$a$を置いても構わない」ということです。

ここまでのことをまとめると、範囲の右端$a$の場所としては「大雑把には3~4の間、4きっかりでもOK」ということになります。
これを数式では $3< a \leqq 4$と表すわけです。

・・・説明なっがっ!!
いやでも、ほんっっっっっっとうに、ここはパッとは理解出来ないんですよ、みんな。
というわけで、次回はコレを元に
【問題】
 (2) 不等式 $5x-a \leqq 2x+6$ を満たす自然数$x$の個数がちょうど3個になるような定数$a$の値の範囲を求めなさい。
この本題を考えてみましょう。

頑張って文字で打ってはみましたが、ここの考え方ってやはりその場で手を動かしながら、修正しながらでなければなかなか伝わりにくいと思います。
というわけで、、、できれば教室の方に聞きに来ていただけると助かります(笑)

学習相談、進路相談、無料で承ってます。
792-0490もしくはsigmaseminar@gmail.comまでぜひご相談くだい。

2013年5月21日火曜日

【高校数学】 文字を係数に持つ不等式 2

大半の高1生がつまづくであろう高校数学の重要箇所を、大雑把に何回かで書く予定 の5回目。
  ・数字扱いする文字 (前半/後半)
  ・文字係数の方程式・不等式(その1/その2) ←今回もココ
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

さて、どこまで順調に続けられるやら。

たぶん、、、関数の場合分けの図表を書く辺りで「うがー」って言いそう。。。
まぁそれでもやれるとこまでやってみましょう。

前回の続きからです

というわけで、こんな問題でした。

【問題】
 (2) $x$についての不等式 $ax +a > 3x-5$ を解きなさい。

大切なのは「文字$a$は数字ですよー」ってことでしたね。
左辺と右辺の両方に$x$の項と定数項が散らばってますから、まずは式を整理するのが第一。
整理すると $(a-3)x > -a-5 $になります。

ここで、次が問題。
両辺を$x$の係数で割り算します。
気をつけなければならないのは「$x$の係数で」という部分です。 まちがっても「$a$で割る」というわけではない。
なぜ強調するかというと、「$a$の値で分ける」と思ってしまう場合が多いからです。
「割る数が$0$かどうか、正か負か」が問題なのですから、この問題の場合は$a-3$の値が問題なのです。

というわけでこんな解答に

以上のことを踏まえて解答を作成します。
【解答】
 $ax +a > 3x-5 より (a-3)x > -a-5 $
 [I]  $a-3 > 0$の場合、つまり$a > 3$のとき、
     両辺を正の数$a-3$で割って、 $x > \frac{-a-5}{a-3}$
 [II]  $a-3 < 0$の場合、つまり$a < 3$のとき、
     両辺を負の数$a-3$で割るので不等号は反転し、 $x < \frac{-a-5}{a-3}$
 [III]  $a-3 = 0$の場合、つまり$a = 3$のとき、
     このとき不等式は $0\times x > -3-5$となり、左辺は確実に$-8$より大きいので、すべての実数$x$について成り立つ 
とまぁ、こんな感じ。
分ける視点はあくまでも「割る数はどうなっているか」であって、実際の$a$の値がどうなっているかはその次の段階です。

これまた頻出の「なかなか理解出来ないらしい問題」を

せっかく不等式を題材にしていますので、同じ不等式の分野でまたちょっと違った問題を解いてみます。
【問題】
 (1) 不等式 $5x-4 < 2x+6$ を満たす自然数の個数を求めなさい。
 (2) 不等式 $5x-a \leqq 2x+6$ を満たす自然数$x$の個数がちょうど3個になるような定数$a$の値の範囲を求めなさい。
(1)はフツーにさらりと大半の高校生が解くんですが、(2)がなんぼ説明してもなっかなかできるようにならないようで。
これも定数$a$というやつの見方が定着しちゃえば大したことはない問題なのですが、、、

"不等式の解"ってのは、「不等式を成立させるような値はどんな範囲に置かれているか」という幅を示しているものです。
例えば(1)の場合、不等式をそのまま解くと $3x < 10$ から $x < \frac{10}{3}$ となりますが、
これはつまり、不等式を成立させることのできる$x$は$\frac{10}{3}$より小さなところに転がってますよーってこと。
この"範囲"の考え方は数直線化すると見やすいので、、、

↑こんな感じ。
そうすると、「あぁ、この範囲に入っている自然数(=正の整数)は1,2,3の3個しかないな」とわかります。

で、問題なのが、(2)です。
この数直線を用いた範囲の考え方と、先の"定数"の理解が必要そうですね。
というところで、次回に回します。

せっかく書くならちょっとでも読みやすく、、、と今更ながら見出しやら囲いやら付けてみました。
その分の手間はかかるわけですが、見た感じはどうでしょうか?

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【高校数学】 文字を係数に持つ不等式

大半の高1生がつまづくであろう高校数学の重要箇所を、大雑把に何回かで書く予定 の4回目。
  ・数字扱いする文字 (前半/後半)
  ・文字係数の方程式・不等式 ←今回もココ
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

まずは前回のおさらいから

前回は「"数字扱いする文字"にはどんな値が入ってるかわからないから気をつけろ」という話でした。
で、最後に提示した問題がこちら。
【問題】
 (1) $x$についての不等式 $ax > 5$ を解きなさい。
 (2) $x$についての不等式 $ax +a > 3x-5$ を解きなさい。

まぁ、方程式が不等式になっただけです。
それでも、なかなか正確には解いてはもらえないわけですが。
そろそろ定期試験でしょうー?
場合分けが絡む問題はちゃんと勉強してないとまず解けないから、俺なら(←元作題者)1問はコレを出すけどなぁ。。。


てわけで(1)。


前回と同様に、まず、不等式の主役である$x$の係数に、文字$a$がくっついています。
これが"数字扱いする文字"ってやつですね。
そして「どんな値が入っているかわからない」というのが厄介なところでした。
前回は「$0$で割る可能性」がとにかく危険なんでした。
「もしかしたら$a$は$0$かもしれない!」ってことを前提に、分けて考えたわけですが、、、

前回と違って今回は不等式。もう一つ気をつけなければなりません。

例えば、 $2x > 6$ を解くのであれば、両辺を$2$で割って $x>3$ となりますが、
 $-2x > 6$ の場合は 両辺を負の数$-2$で割ることになります。
不等式では「負の数を掛けたり、負の数で割るときは不等号が反転する」という性質があったので、 
ココでは不等号が反転して $x< -3$ となります。
つまり、前回の「$0$で割ってはいけません」ルールに加えて「割る数は正か?負か?」という問題が加わります。

ということで、「割る数$a$は、正か、負か、$0$か」で分ける必要があります。

【(1) 解答】
 [I]  $a> 0$の場合、 両辺を正の数$a$で割って、$x > \frac{5}{a}$
 [II]  $a< 0$の場合、 両辺を負の数$a$で割るので符号は反転し、$x< \frac{5}{a}$
    ※よくある勘違いですが、あくまでも「$a$に代入される値自体が負」ということなので、 $x< -\frac{5}{a}$ とするわけではないです
 [III]  $a=0$の場合、この不等式は$0\times x > 5$となる。
     このとき、$0\times x=0$なので、左辺が$5$より大きくなるような$x$は存在しない。

と、こんな感じ。


$a$で分ければいいのね! という早とちり

ここら辺りまで教えてからだと、(2)は自分で解いてみようという生徒がかなり増えます。
が、失敗するんですね。。。

てわけで、(2)
$x$についての不等式 $ax +a > 3x-5$ を解きなさい。 というのを見た瞬間に「あぁ、場合分けするのね」と言って次のように書き始める生徒がほとんどです。

【(2) の誤答例】
 最初っから分ける気まんまんで
 [I]  $a>0$の場合、・・・・・・
 [II]  $a< 0$の場合、・・・・・・
 [III]  $a=0$の場合、・・・・・・   と始まっているもの。

いや、ちょっと待て。 分ける前にすることがあるだろう、と。
しつこいようですが、$a$は数字です。
いきなり場合分けを始めた人は、ココの思い込みがぜんぜん足りていない。

例えば$a=2$だとしましょうか。 $2x+2< 3x-5$ を解けってことですよね。
いきなり両辺を何かで割るなんてしないでしょう?
まずは $-x< -7$ というように式を整理するはずです。

じゃぁ、 $ax +a > 3x-5$ だって同じように整理しなけりゃならない。
この不等式は$x$についての1次不等式ですから、$a$はあくまでも数字扱い。
$(a-3)x > -5-a$ とまとめることができます。
ここまで整理してからですよね。割り算するのは。


というところで一旦切って、解答は次にしてみます。




Twitterにもこぼしましたが、数式を書いたり、下線や囲いで強調したり、矢印でメモを書き加えたり、大きな中括弧でくくったり、そういったノートや板書では自由にできることが、ネット上ではとかく難しいんですよね。
頭のなかに思い描いてる図形や式がパッと清書され、プレゼンのスライドのように整理されるような、いつかはそんなシステムが出来たりもするんでしょうか。。。


それがない間は、生の授業がやはり一番アレコレ伝えやすいですね。
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2013年5月20日月曜日

【高校数学】 文字を係数に持つ方程式

調子がいい間に一気に書いてしまおう。
「うっわ、グラフとか作るのめんどっ」って思った瞬間に更新ペースが落ちてお蔵入りになりますんで。。。(苦笑)

大半の高1生がつまづくであろう高校数学の重要箇所を、大雑把に何回かで書く予定 の3回目。
  ・数字扱いする文字 (前半/後半)
  ・文字係数の方程式・不等式 ←今回はココ
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

簡単そうに見えるけど・・・

今回の問題はこちら
【問題】
 $x$についての方程式 $ax=b$ を解きなさい。
一見ものすご~く簡単そうに見えてしまうわけですよ。
で、
【誤答】
  $両辺をa$で割って、$x=\frac{b}{a}$
とだけ書いて、でっかく × を付けられると。。。

「え?なんで?フツーに割り算しただけじゃん!?」というところから今シリーズの本題が始まります。

"定数"を表す文字には"何らかの値"が入るのです

まず、問題文ですが、高校では「$x$についての方程式」とか「$a,b$は定数とする」とかいう表現が現れます。
前回確認したことですが、文字式では"数字扱いする文字"と"文字として扱う文字"がありました。
この問題では、$x$は方程式の主役となる"文字"ですが、$a,b$は"数字"として扱わなくてはなりません。
つまり、 「方程式$ax=b$を解け」 と書いていますが、$a,b$には何らかの値が入る前提で、頭のなかでは 「方程式$3x=7$を解け」と言われているのと同じようにして扱うわけです。
上の例では$a=3,\ b=7$ということですね。
もしも$a=-5,\ b=\sqrt{2}$であれば、この問題は 「方程式$-5x=\sqrt{2}$を解け」ということです。


どちらも両辺を3なり-5なりで割れば解けますよね。
  $3x=7$ → $x=\frac{7}{3}$  だし、 
  $-5x=\sqrt{2}$ → $x=-\frac{\sqrt{2}}{5}$ となります。

じゃぁ $ax=b$ → $x=\frac{b}{a}$  でいいんじゃないか、と。
でも、ここがダメなんですね。

何がダメかというと「$a$には何らかの値が入る」という部分。
この"何らかの値"が「割り算の出来る数」ならばいいんですが、数学の世界では「この数では割っちゃダメ!」という数が1つだけあります。 $0$です。

$0$では割り算できません!

数学では「$0$では割り算できない」つまり「分母に$0$が来てはいけない」というきついルールがあります。
$0\div 5は0ですが$、$5\div 0は$"計算出来ない"というのが答えです。
「答えが$0$になる」のではなく、「計算自体が認められていない」んですね。
Excelででも試してみるといいです。 「#DIV 0」ってエラー表示が出るはずですから。


このことが先の方程式に絡んできます。
つまり「$a$に入る値は、もしかしたら$0$かもしれないよ?」と。

文字の中の値を慎重に考えて解いてみましょう

$ax=b$ から $x=\frac{b}{a}$  と変形する時に「両辺を$a$で割る」という操作をしました。
この操作が認められるのは「$a$が$0$ではないとき」に限られます。
ということは「もし$a=0$だったら・・・」という場合については、これとは別に考えなければならないわけです。

もしも $a=0$ だったら。
この方程式は $0\times x= b$ という形になります。
「$0$になにを掛けたら$b$になる?」ってことですね。

パッと思いついます?
「$0\times 5=0 だし、 0\times 125=0 だし、 0\times (-3)=0$ だし、、、ネーよそんなもん!」ってなるでしょう?
つまり、「この方程式を満たすような$x$は見つからない・・・解なし」というのが答えです。

でもまだ終わっていない。。。
「$a$には何らかの値が入る」と書きましたが、「$b$にも何らかの値が入る」のです。
んじゃぁ、もしかしたら$bも0$かもしれないじゃないですか。

その場合、この方程式は $0\times x= 0$ となりますから、今度は「$x$には何が入っても等式が成り立つ」ということになりますね。


以上のことを踏まえると、解答は次のようになります。
【解答】
 [I]  $a\ne0$の場合、両辺を$a$で割って、 $x=\frac{b}{a}$
 [II]  $a=0$の場合、 この方程式は $0\times x=b$となる。
   (i) $b\ne0$の場合、 この方程式を満たす$実数x$は存在しない・・・不能
   (ii) $b=0$の場合、  $0\times x=0$ より、すべての実数$x$に対して成立する・・・不定

たった1行の問題なのに、考えること、いっぱいあるでしょう?

文字係数の時に気をつけることー

主役$x$以外の文字を見た時に、「やべぇ、もしかしたら$0$が入ってるかもしれねぇ・・・」と思えることがものすごく大切です。
そのためには「文字には何らかの値が入るんだ」という認識が必要です。
文字を"文字"としてみていてはダメだということなんですが、ここがなかなかきちんとは教わっていない感じなんですよねー

そしてもう一つ。
「等式/不等式を満たす$x$が見つからない」という場合や「等式/不等式を満たす$x$が無数に見つかって決められない」という場合が登場します。
「問題が解けない」「答えがない」のではなく、「条件を満たす"解"が存在しない」というのが問題に対するれっきとした"答え"なのですが、どうもここの理解が難しいようです。
そして、不慣れなのに、学校ではガンガン飛ばしていくという。。。
もしココを見つけた高校生がいたなら、ちょっとでも理解の助けになるといいのですが。


てなところで、次回の問題はこちら。
【問題】
 (1) $x$についての不等式 $ax > 5$ を解きなさい。
 (2) $x$についての不等式 $ax +a > 3x-5$ を解きなさい。

今回の解説を元に、次回は不等式を解いてみます。


ここのブログには数式が表示されるような設定を施しているんですが、きちんと表示されていますかね?


学習相談、進路相談、無料で承ってます。
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【高校数学】 数字扱いする文字 後半

大半の高1生がつまづくであろう高校数学の重要箇所を、大雑把に何回かで書く予定 の2回目。
  ・数字扱いする文字  ←まだここです
  ・文字係数の方程式・不等式
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

前回の問題はコチラ
【問題】
 (1) 次の式は何次式ですか。  $-2x^3y$, $3xy-5x+4y-1$
 (2) 次の式の同類項をまとめなさい。  $2ax+y-x+3y+z$

前回は、(1)の話題から"次数"の数え方と、「数字扱いする文字がある」ということだけ触れて終わってしまいました。
上の【問題】は中2生用でしたが、前回の話を踏まえてちょっと見方を深めて行きましょう。

中学生的な文字式の見方からの脱却

(1)の$-2x^3y$ですが、前回は中学生的に $-2\times x\times x\times x\times y$ とみて「4文字掛けられている」ので4次式と答えました。
でも、これは「$xもy$も、両方ともを文字扱いした場合」のことです。

ここで文字の扱いを「$x$は文字扱いし、$y$は数字扱いする」と見てみましょうか。
すると、$y$は数字ですから、
  $(-2\times y)\times x\times x\times x$ と見ることになるので、$-2y$という数に$x$が3つ掛けられていることになります。
つまり、「$x$については3次式」となるわけです。

同様に、$3xy-5x+4y-1$についても$x$だけを文字扱いした場合は、
  $3xy=3y\times x・・・1次$   $-5x・・・1次$   $4y・・・0次$   $ -1・・・0次$ という数え方になりますから、「$x$についての1次式」といえます。


では(2)ですが、 $2ax+y-x+3y+z$をまずは中学生的に見ていきましょう。

「文字の部分が完全に同じ項」を"同類項"といいます。
例えば、 $4x^2+5x+7-2x+x^2$ みたいな式があった場合、
文字の部分が完全に一致するのは$4x^2とx^2$の項、それから$5xと-2x$の項です。
これら同類項は係数の足し算によってまとめることができます。
  つまり、$4x^2+x^2=(4+1)x^2=5x^2$    $5x-2x=(5-2)x^2=3x$  
よって、 $4x^2+5x+7-2x+x^2=5x^2+3x+7$ということですね。

このことから、$2ax+y-x+3y+z$を中学生的に見ると、同類項は$yと3y$ですから、
  $2ax+y-x+3y+z=2ax-x+4y+z$ とまとめることができます。

では式の見方を変えてみましょう。
「$x$だけを文字扱いする」ことにしましょうか。
すると、$aとyとz$は数字ですから、$2ax$という項は「$2a$という係数をもつ$x$の項」ということになります。つまり「$-x$の項とは同類項」です。
また、$yもz$も数字扱いになりますから、ここも定数項として扱うことになります。
なので、 $2ax+y-x+3y+z=(2a-1)x+(4y+z)$ という、$x$の項と定数項のみの「2項だけの1次式」として見るわけです。


「で、だからどうしたの?」と言われそうなのですが、ここまでが基本的な下準備。
ここまでの理解が怪しいと、次の方程式が解けません。
「解けません」というか、きっと、「説明を聞いても理解ができません」。


というわけで、
【問題】
 $x$についての方程式 $ax=b$ を解きなさい。

次回からが本編です。

「計算はできる」のに、「でも解けない」。
それは「数式を扱い方を知らない」からかもしれません。

でもその扱い方をきちんと説明する人が周りにはあまりいないようで。。。

学習相談、進路相談、無料で承ってます。
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