2013年5月29日水曜日

【高校数学】 "絶対値"の場合分け

『高1生が埋まる前に穴をふさいどくよ』シリーズの 第9回。
前回に引き続き"絶対値"の扱い方。
"数字扱いする文字"の扱いがちょっとは見えてきたでしょうから、さらに話を進めてみます。


2013年5月25日土曜日

【高校数学】 "絶対値"の取扱説明書

『高1生が埋まる前に穴をふさいどくよ』シリーズの 第8回。
"数字扱いする文字"の扱いがちょっとは見えてきたでしょうから、さらに話を進めてみます。

今回は、これまた嫌いな人が猛烈に多い"絶対値"の扱い。
一度ちゃんとわかってしまえばその後は楽なものの最たるものなんですが、、、とは言えなかなかねぇ。。。

2013年5月23日木曜日

著名人による実名ツイートについて思うこと

こっちに書こうかTwitterで書こうか迷ったんですけど、「きっと教壇に立ってたら授業でも話すだろうなぁ」と思ったのでコチラにだらだら書いてみます。
(いちお自分の中では、「"500字程度で終わりそうな話題"はTwitterに書く」ってことにしてます)
数日前に、Twitterに60万ものフォロワーを持つある著名人が、店舗名を出して批判的なツイートを流したというのがニュースになりました。
この記事を見つけられるほどにネットを利用している方ならすでに大多数はご存知でしょうから、ニュースの詳細は省きます。
で、ニュースサイトのコメント欄やそれに続くいろいろな人のツイートでは「著名人が実名出して店の評価をするなんて、発言に対する影響力の大きさを考えたらとんでもない!」という事が主流になっているようです。
でも、店の評価を発言すること自体って、そんなにダメなことですかね?

2013年5月22日水曜日

【高校数学】 範囲に定数を含んだ不等式2

『高1生がつまづく前に穴埋めするよ』シリーズの 第7回。
えぇ。たった今テキトーに名前決めました。

  ・数字扱いする文字 (前半/後半)
  ・文字係数の方程式・不等式(その1/その2
  ・範囲に定数を含んだ不等式 (その1/その2) ←今回もここー ようやく半分!
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

なんかね、本当に、ニコニコ動画ででも『解説してみた』とかいって覆面かぶって授業したほうが早いんじゃないかと思ったりもするんですよ。。。
というわけで、前回の「解の範囲に定数を含んだ不等式の考え方」の続きです。

【高校数学】 範囲に定数を含んだ不等式

大半の高1生がつまづくであろう高校数学の重要箇所を、大雑把に何回かで書く予定 の6回目。
  ・数字扱いする文字 (前半/後半)
  ・文字係数の方程式・不等式(その1/その2
  ・範囲に定数を含んだ不等式 ←今回はここー
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

一気に書き上げて終わらす予定が、予定より内容増えた。。。orz
ま、気を取り直してやりましょう。

数直線はとても便利なツールです

まず今回の問題ですが、
【問題】
 (1) 不等式 $5x-4 < 2x+6$ を満たす自然数の個数を求めなさい。
 (2) 不等式 $5x-a \leqq 2x+6$ を満たす自然数$x$の個数がちょうど3個になるような定数$a$の値の範囲を求めなさい。
の(2)について考えるんでした。
と、その前に、前回確認した(1)ですが、これは、

というような感じで、まずは数直線を使って、解の範囲を考えるんでした。
上の数直線の緑で塗られている部分が「不等式を満たす$x$の場所」です。
つまり、「不等式を満たす自然数$x$はこの枠の中にありますよー」ってことなので、見たら確かに3つあることがわかるでしょ?と。

さて、問2に行く前に、補題としてコレはどうでしょう。
【問題】不等式 $\frac{2}{3} < x < a$ を満たす自然数$x$がちょうど3個になるような定数$a$の値の範囲を求めなさい。
まず、問題の意図が理解できるかどうかなんですが、、、

範囲に定数を含む不等式の解釈

$\frac{2}{3} < x < a$ というこの不等式、範囲を図に表してみるとこんな感じになります。

「左端は$\frac23$なんだろうけど、、、右端、薄くなってない?どこ?」って思ったあなた、それが正しい感覚。
つまりですね、さっきの不等式で表されている$x$の範囲は「$\frac23$よりは大きく、でも$a$よりは小さい」という範囲なんですが、その$a$というのがよくわからないわけです。
なぜわからないか。そろそろ慣れたでしょう?「$a$にはいろいろな値が入る可能性があるから」ですね。

$a$の値が2.5だとしましょうか。
もしくは$a$の値が3.4だったらどうでしょう?それから4.2だったら?
いろいろ考えられますよね?

ほら、こんな感じ。

範囲の右端が$a$なんて風に文字式で書かれているせいで、正確な場所がいまいち決められないわけです。
$a$の置き場所によっては枠内の自然数は2個になるし、違う場所なら3個にも4個にもなる。
で、問題を見ると、「不等式を満たす自然数$x$がちょうど3個になるように」と言われている。
つまり、この問題の意図は「じゃぁ右端をどこに置いたら自然数は3つになるの?」というわけです。

というわけで補題の解答を

不等式 $\frac{2}{3} < x < a$ の範囲は左端は$\frac23$と決まっていますから、自然数3個というのは1,2,3の3つのことです。
よって、この問題の場合、右端$a$は「1,2,3までが範囲に入って、4は範囲には入らないようにすれば良い」ということですね。
つまり、

大雑把に言えば3~4の間のどっかに$a$が置かれればいいってことでしょう。
引越し屋みたいなもんです。「あぁ、$a$はその辺に置いといて」みたいな感じ。

これを数学らしく不等式で表すと、問題に合うように自然数が3個になるような 「$a$を置いてもいい範囲」は $3< a< 4$となります。

まずここまでで、大半の生徒が混乱するのは「$a$の範囲を決める」ということに対する違和感なんですね。
「だって、$x$の不等式を解いてたんでしょ?」と頻繁に聞かれ、そして $3 < x< 4$ という不等式を作ろうとします。
コレはやっぱり、問題の意図がわかっていないんだと思うんですよね。
しっかりと頭で整理して置かなければならないのは、
・数直線上に$x$の範囲を図示したいのに、右端の$a$がどの辺りなのかよくわからない
という理解がまず先で、次に
・問題の条件に合うように$a$を置きたいのだが、いったいどこに置いたらいいのだろうか
ということなんだと思います。

数学教師は"大雑把な答え"は許してくれない。。。

というわけで、数直線を見ながら「3~4の辺りなら、枠内の自然数が3個になるよね」まではわかりました。

ただ、、、運送屋さんには「その辺りに置いておいて」で済むんですが、数学ではこの辺がとても厳密です。
「3~4って言うけどさぁ、じゃぁ、3は置いていいの?4はどうなの?」というのが最後のチェック。

もう一度確認してみましょう。
「不等式 $\frac{2}{3} < x < a$の表す範囲に、1,2,3までが範囲に入って、4は範囲には入らないようにすれば良い」ということでした。
では、$a$の値がきっかり3だったらどうでしょう?
不等式の範囲は$\frac{2}{3} < x < 3$となりますから、不等号の意味を考えれば、この範囲に3は含まれないことになります。
つまり、「$a$の置き場所としては3はふさわしくない」ということですね。

もう一方の4ではどうですか?
$\frac{2}{3} < x < 4$という範囲では、右端の4は含まれていませんから、「範囲に3は入って、4は入らないようにする」という条件には適していることがわかります。
つまり、「4の位置に$a$を置いても構わない」ということです。

ここまでのことをまとめると、範囲の右端$a$の場所としては「大雑把には3~4の間、4きっかりでもOK」ということになります。
これを数式では $3< a \leqq 4$と表すわけです。

・・・説明なっがっ!!
いやでも、ほんっっっっっっとうに、ここはパッとは理解出来ないんですよ、みんな。
というわけで、次回はコレを元に
【問題】
 (2) 不等式 $5x-a \leqq 2x+6$ を満たす自然数$x$の個数がちょうど3個になるような定数$a$の値の範囲を求めなさい。
この本題を考えてみましょう。

頑張って文字で打ってはみましたが、ここの考え方ってやはりその場で手を動かしながら、修正しながらでなければなかなか伝わりにくいと思います。
というわけで、、、できれば教室の方に聞きに来ていただけると助かります(笑)

学習相談、進路相談、無料で承ってます。
792-0490もしくはsigmaseminar@gmail.comまでぜひご相談くだい。

2013年5月21日火曜日

【高校数学】 文字を係数に持つ不等式 2

大半の高1生がつまづくであろう高校数学の重要箇所を、大雑把に何回かで書く予定 の5回目。
  ・数字扱いする文字 (前半/後半)
  ・文字係数の方程式・不等式(その1/その2) ←今回もココ
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

さて、どこまで順調に続けられるやら。

たぶん、、、関数の場合分けの図表を書く辺りで「うがー」って言いそう。。。
まぁそれでもやれるとこまでやってみましょう。

前回の続きからです

というわけで、こんな問題でした。

【問題】
 (2) $x$についての不等式 $ax +a > 3x-5$ を解きなさい。

大切なのは「文字$a$は数字ですよー」ってことでしたね。
左辺と右辺の両方に$x$の項と定数項が散らばってますから、まずは式を整理するのが第一。
整理すると $(a-3)x > -a-5 $になります。

ここで、次が問題。
両辺を$x$の係数で割り算します。
気をつけなければならないのは「$x$の係数で」という部分です。 まちがっても「$a$で割る」というわけではない。
なぜ強調するかというと、「$a$の値で分ける」と思ってしまう場合が多いからです。
「割る数が$0$かどうか、正か負か」が問題なのですから、この問題の場合は$a-3$の値が問題なのです。

というわけでこんな解答に

以上のことを踏まえて解答を作成します。
【解答】
 $ax +a > 3x-5 より (a-3)x > -a-5 $
 [I]  $a-3 > 0$の場合、つまり$a > 3$のとき、
     両辺を正の数$a-3$で割って、 $x > \frac{-a-5}{a-3}$
 [II]  $a-3 < 0$の場合、つまり$a < 3$のとき、
     両辺を負の数$a-3$で割るので不等号は反転し、 $x < \frac{-a-5}{a-3}$
 [III]  $a-3 = 0$の場合、つまり$a = 3$のとき、
     このとき不等式は $0\times x > -3-5$となり、左辺は確実に$-8$より大きいので、すべての実数$x$について成り立つ 
とまぁ、こんな感じ。
分ける視点はあくまでも「割る数はどうなっているか」であって、実際の$a$の値がどうなっているかはその次の段階です。

これまた頻出の「なかなか理解出来ないらしい問題」を

せっかく不等式を題材にしていますので、同じ不等式の分野でまたちょっと違った問題を解いてみます。
【問題】
 (1) 不等式 $5x-4 < 2x+6$ を満たす自然数の個数を求めなさい。
 (2) 不等式 $5x-a \leqq 2x+6$ を満たす自然数$x$の個数がちょうど3個になるような定数$a$の値の範囲を求めなさい。
(1)はフツーにさらりと大半の高校生が解くんですが、(2)がなんぼ説明してもなっかなかできるようにならないようで。
これも定数$a$というやつの見方が定着しちゃえば大したことはない問題なのですが、、、

"不等式の解"ってのは、「不等式を成立させるような値はどんな範囲に置かれているか」という幅を示しているものです。
例えば(1)の場合、不等式をそのまま解くと $3x < 10$ から $x < \frac{10}{3}$ となりますが、
これはつまり、不等式を成立させることのできる$x$は$\frac{10}{3}$より小さなところに転がってますよーってこと。
この"範囲"の考え方は数直線化すると見やすいので、、、

↑こんな感じ。
そうすると、「あぁ、この範囲に入っている自然数(=正の整数)は1,2,3の3個しかないな」とわかります。

で、問題なのが、(2)です。
この数直線を用いた範囲の考え方と、先の"定数"の理解が必要そうですね。
というところで、次回に回します。

せっかく書くならちょっとでも読みやすく、、、と今更ながら見出しやら囲いやら付けてみました。
その分の手間はかかるわけですが、見た感じはどうでしょうか?

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【高校数学】 文字を係数に持つ不等式

大半の高1生がつまづくであろう高校数学の重要箇所を、大雑把に何回かで書く予定 の4回目。
  ・数字扱いする文字 (前半/後半)
  ・文字係数の方程式・不等式 ←今回もココ
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

まずは前回のおさらいから

前回は「"数字扱いする文字"にはどんな値が入ってるかわからないから気をつけろ」という話でした。
で、最後に提示した問題がこちら。
【問題】
 (1) $x$についての不等式 $ax > 5$ を解きなさい。
 (2) $x$についての不等式 $ax +a > 3x-5$ を解きなさい。

まぁ、方程式が不等式になっただけです。
それでも、なかなか正確には解いてはもらえないわけですが。
そろそろ定期試験でしょうー?
場合分けが絡む問題はちゃんと勉強してないとまず解けないから、俺なら(←元作題者)1問はコレを出すけどなぁ。。。


てわけで(1)。


前回と同様に、まず、不等式の主役である$x$の係数に、文字$a$がくっついています。
これが"数字扱いする文字"ってやつですね。
そして「どんな値が入っているかわからない」というのが厄介なところでした。
前回は「$0$で割る可能性」がとにかく危険なんでした。
「もしかしたら$a$は$0$かもしれない!」ってことを前提に、分けて考えたわけですが、、、

前回と違って今回は不等式。もう一つ気をつけなければなりません。

例えば、 $2x > 6$ を解くのであれば、両辺を$2$で割って $x>3$ となりますが、
 $-2x > 6$ の場合は 両辺を負の数$-2$で割ることになります。
不等式では「負の数を掛けたり、負の数で割るときは不等号が反転する」という性質があったので、 
ココでは不等号が反転して $x< -3$ となります。
つまり、前回の「$0$で割ってはいけません」ルールに加えて「割る数は正か?負か?」という問題が加わります。

ということで、「割る数$a$は、正か、負か、$0$か」で分ける必要があります。

【(1) 解答】
 [I]  $a> 0$の場合、 両辺を正の数$a$で割って、$x > \frac{5}{a}$
 [II]  $a< 0$の場合、 両辺を負の数$a$で割るので符号は反転し、$x< \frac{5}{a}$
    ※よくある勘違いですが、あくまでも「$a$に代入される値自体が負」ということなので、 $x< -\frac{5}{a}$ とするわけではないです
 [III]  $a=0$の場合、この不等式は$0\times x > 5$となる。
     このとき、$0\times x=0$なので、左辺が$5$より大きくなるような$x$は存在しない。

と、こんな感じ。


$a$で分ければいいのね! という早とちり

ここら辺りまで教えてからだと、(2)は自分で解いてみようという生徒がかなり増えます。
が、失敗するんですね。。。

てわけで、(2)
$x$についての不等式 $ax +a > 3x-5$ を解きなさい。 というのを見た瞬間に「あぁ、場合分けするのね」と言って次のように書き始める生徒がほとんどです。

【(2) の誤答例】
 最初っから分ける気まんまんで
 [I]  $a>0$の場合、・・・・・・
 [II]  $a< 0$の場合、・・・・・・
 [III]  $a=0$の場合、・・・・・・   と始まっているもの。

いや、ちょっと待て。 分ける前にすることがあるだろう、と。
しつこいようですが、$a$は数字です。
いきなり場合分けを始めた人は、ココの思い込みがぜんぜん足りていない。

例えば$a=2$だとしましょうか。 $2x+2< 3x-5$ を解けってことですよね。
いきなり両辺を何かで割るなんてしないでしょう?
まずは $-x< -7$ というように式を整理するはずです。

じゃぁ、 $ax +a > 3x-5$ だって同じように整理しなけりゃならない。
この不等式は$x$についての1次不等式ですから、$a$はあくまでも数字扱い。
$(a-3)x > -5-a$ とまとめることができます。
ここまで整理してからですよね。割り算するのは。


というところで一旦切って、解答は次にしてみます。




Twitterにもこぼしましたが、数式を書いたり、下線や囲いで強調したり、矢印でメモを書き加えたり、大きな中括弧でくくったり、そういったノートや板書では自由にできることが、ネット上ではとかく難しいんですよね。
頭のなかに思い描いてる図形や式がパッと清書され、プレゼンのスライドのように整理されるような、いつかはそんなシステムが出来たりもするんでしょうか。。。


それがない間は、生の授業がやはり一番アレコレ伝えやすいですね。
学習相談、進路相談、無料で承ってます。
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2013年5月20日月曜日

【高校数学】 文字を係数に持つ方程式

調子がいい間に一気に書いてしまおう。
「うっわ、グラフとか作るのめんどっ」って思った瞬間に更新ペースが落ちてお蔵入りになりますんで。。。(苦笑)

大半の高1生がつまづくであろう高校数学の重要箇所を、大雑把に何回かで書く予定 の3回目。
  ・数字扱いする文字 (前半/後半)
  ・文字係数の方程式・不等式 ←今回はココ
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

簡単そうに見えるけど・・・

今回の問題はこちら
【問題】
 $x$についての方程式 $ax=b$ を解きなさい。
一見ものすご~く簡単そうに見えてしまうわけですよ。
で、
【誤答】
  $両辺をa$で割って、$x=\frac{b}{a}$
とだけ書いて、でっかく × を付けられると。。。

「え?なんで?フツーに割り算しただけじゃん!?」というところから今シリーズの本題が始まります。

"定数"を表す文字には"何らかの値"が入るのです

まず、問題文ですが、高校では「$x$についての方程式」とか「$a,b$は定数とする」とかいう表現が現れます。
前回確認したことですが、文字式では"数字扱いする文字"と"文字として扱う文字"がありました。
この問題では、$x$は方程式の主役となる"文字"ですが、$a,b$は"数字"として扱わなくてはなりません。
つまり、 「方程式$ax=b$を解け」 と書いていますが、$a,b$には何らかの値が入る前提で、頭のなかでは 「方程式$3x=7$を解け」と言われているのと同じようにして扱うわけです。
上の例では$a=3,\ b=7$ということですね。
もしも$a=-5,\ b=\sqrt{2}$であれば、この問題は 「方程式$-5x=\sqrt{2}$を解け」ということです。


どちらも両辺を3なり-5なりで割れば解けますよね。
  $3x=7$ → $x=\frac{7}{3}$  だし、 
  $-5x=\sqrt{2}$ → $x=-\frac{\sqrt{2}}{5}$ となります。

じゃぁ $ax=b$ → $x=\frac{b}{a}$  でいいんじゃないか、と。
でも、ここがダメなんですね。

何がダメかというと「$a$には何らかの値が入る」という部分。
この"何らかの値"が「割り算の出来る数」ならばいいんですが、数学の世界では「この数では割っちゃダメ!」という数が1つだけあります。 $0$です。

$0$では割り算できません!

数学では「$0$では割り算できない」つまり「分母に$0$が来てはいけない」というきついルールがあります。
$0\div 5は0ですが$、$5\div 0は$"計算出来ない"というのが答えです。
「答えが$0$になる」のではなく、「計算自体が認められていない」んですね。
Excelででも試してみるといいです。 「#DIV 0」ってエラー表示が出るはずですから。


このことが先の方程式に絡んできます。
つまり「$a$に入る値は、もしかしたら$0$かもしれないよ?」と。

文字の中の値を慎重に考えて解いてみましょう

$ax=b$ から $x=\frac{b}{a}$  と変形する時に「両辺を$a$で割る」という操作をしました。
この操作が認められるのは「$a$が$0$ではないとき」に限られます。
ということは「もし$a=0$だったら・・・」という場合については、これとは別に考えなければならないわけです。

もしも $a=0$ だったら。
この方程式は $0\times x= b$ という形になります。
「$0$になにを掛けたら$b$になる?」ってことですね。

パッと思いついます?
「$0\times 5=0 だし、 0\times 125=0 だし、 0\times (-3)=0$ だし、、、ネーよそんなもん!」ってなるでしょう?
つまり、「この方程式を満たすような$x$は見つからない・・・解なし」というのが答えです。

でもまだ終わっていない。。。
「$a$には何らかの値が入る」と書きましたが、「$b$にも何らかの値が入る」のです。
んじゃぁ、もしかしたら$bも0$かもしれないじゃないですか。

その場合、この方程式は $0\times x= 0$ となりますから、今度は「$x$には何が入っても等式が成り立つ」ということになりますね。


以上のことを踏まえると、解答は次のようになります。
【解答】
 [I]  $a\ne0$の場合、両辺を$a$で割って、 $x=\frac{b}{a}$
 [II]  $a=0$の場合、 この方程式は $0\times x=b$となる。
   (i) $b\ne0$の場合、 この方程式を満たす$実数x$は存在しない・・・不能
   (ii) $b=0$の場合、  $0\times x=0$ より、すべての実数$x$に対して成立する・・・不定

たった1行の問題なのに、考えること、いっぱいあるでしょう?

文字係数の時に気をつけることー

主役$x$以外の文字を見た時に、「やべぇ、もしかしたら$0$が入ってるかもしれねぇ・・・」と思えることがものすごく大切です。
そのためには「文字には何らかの値が入るんだ」という認識が必要です。
文字を"文字"としてみていてはダメだということなんですが、ここがなかなかきちんとは教わっていない感じなんですよねー

そしてもう一つ。
「等式/不等式を満たす$x$が見つからない」という場合や「等式/不等式を満たす$x$が無数に見つかって決められない」という場合が登場します。
「問題が解けない」「答えがない」のではなく、「条件を満たす"解"が存在しない」というのが問題に対するれっきとした"答え"なのですが、どうもここの理解が難しいようです。
そして、不慣れなのに、学校ではガンガン飛ばしていくという。。。
もしココを見つけた高校生がいたなら、ちょっとでも理解の助けになるといいのですが。


てなところで、次回の問題はこちら。
【問題】
 (1) $x$についての不等式 $ax > 5$ を解きなさい。
 (2) $x$についての不等式 $ax +a > 3x-5$ を解きなさい。

今回の解説を元に、次回は不等式を解いてみます。


ここのブログには数式が表示されるような設定を施しているんですが、きちんと表示されていますかね?


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【高校数学】 数字扱いする文字 後半

大半の高1生がつまづくであろう高校数学の重要箇所を、大雑把に何回かで書く予定 の2回目。
  ・数字扱いする文字  ←まだここです
  ・文字係数の方程式・不等式
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

前回の問題はコチラ
【問題】
 (1) 次の式は何次式ですか。  $-2x^3y$, $3xy-5x+4y-1$
 (2) 次の式の同類項をまとめなさい。  $2ax+y-x+3y+z$

前回は、(1)の話題から"次数"の数え方と、「数字扱いする文字がある」ということだけ触れて終わってしまいました。
上の【問題】は中2生用でしたが、前回の話を踏まえてちょっと見方を深めて行きましょう。

中学生的な文字式の見方からの脱却

(1)の$-2x^3y$ですが、前回は中学生的に $-2\times x\times x\times x\times y$ とみて「4文字掛けられている」ので4次式と答えました。
でも、これは「$xもy$も、両方ともを文字扱いした場合」のことです。

ここで文字の扱いを「$x$は文字扱いし、$y$は数字扱いする」と見てみましょうか。
すると、$y$は数字ですから、
  $(-2\times y)\times x\times x\times x$ と見ることになるので、$-2y$という数に$x$が3つ掛けられていることになります。
つまり、「$x$については3次式」となるわけです。

同様に、$3xy-5x+4y-1$についても$x$だけを文字扱いした場合は、
  $3xy=3y\times x・・・1次$   $-5x・・・1次$   $4y・・・0次$   $ -1・・・0次$ という数え方になりますから、「$x$についての1次式」といえます。


では(2)ですが、 $2ax+y-x+3y+z$をまずは中学生的に見ていきましょう。

「文字の部分が完全に同じ項」を"同類項"といいます。
例えば、 $4x^2+5x+7-2x+x^2$ みたいな式があった場合、
文字の部分が完全に一致するのは$4x^2とx^2$の項、それから$5xと-2x$の項です。
これら同類項は係数の足し算によってまとめることができます。
  つまり、$4x^2+x^2=(4+1)x^2=5x^2$    $5x-2x=(5-2)x^2=3x$  
よって、 $4x^2+5x+7-2x+x^2=5x^2+3x+7$ということですね。

このことから、$2ax+y-x+3y+z$を中学生的に見ると、同類項は$yと3y$ですから、
  $2ax+y-x+3y+z=2ax-x+4y+z$ とまとめることができます。

では式の見方を変えてみましょう。
「$x$だけを文字扱いする」ことにしましょうか。
すると、$aとyとz$は数字ですから、$2ax$という項は「$2a$という係数をもつ$x$の項」ということになります。つまり「$-x$の項とは同類項」です。
また、$yもz$も数字扱いになりますから、ここも定数項として扱うことになります。
なので、 $2ax+y-x+3y+z=(2a-1)x+(4y+z)$ という、$x$の項と定数項のみの「2項だけの1次式」として見るわけです。


「で、だからどうしたの?」と言われそうなのですが、ここまでが基本的な下準備。
ここまでの理解が怪しいと、次の方程式が解けません。
「解けません」というか、きっと、「説明を聞いても理解ができません」。


というわけで、
【問題】
 $x$についての方程式 $ax=b$ を解きなさい。

次回からが本編です。

「計算はできる」のに、「でも解けない」。
それは「数式を扱い方を知らない」からかもしれません。

でもその扱い方をきちんと説明する人が周りにはあまりいないようで。。。

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【高校数学】 数字扱いする文字

「高校数学において、中学ともっとも違う部分はどこか」
まっさきに私が答えるのが「"定数"を表す文字の扱い方」なんですが、どうも、どこの学校でもさらっとしか触れずに通過してしまうんですよね。
よって、ココで詰まってしまって応用に行けずに挫折する高校生がわんさか居る。
うちの高1生でも案の定「学校の説明ではよくわからなかった」というのが出て来ましたので、ちょっと何回かかけて解説してみようかと。

大半の高1生がつまづくであろう関連箇所を、大雑把にですが、5回くらいで書く予定です。
  ・数字扱いする文字
  ・文字定数の方程式・不等式
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小
という感じの予定で、今回は一番大事な基本中の基本から。

文字式について、まずは基本の確認

まずは中学2年生の復習です。
【問題】
 (1) 次の式は何次式ですか。  $-2x^3y$, $3xy-5x+4y-1$
 (2) 次の式の同類項をまとめなさい。  $2ax+y-x+3y+z$

(1)は文字式の"次数"についての問題。

「掛け算のみで表されている文字式」を"単項式"といい、$-2x^3y$が単項式にあたります。
単項式の次数は「掛けられている文字の個数」と決められており、
 $-2x^3y=-2\times x\times x\times x\times y$なので、掛け算られている文字は4個。つまり4次式と答えます。
「いくつかの単項式の和の形で表されている文字式」を"多項式"といい、$3xy-5x+4y-1$は多項式です。
多項式を構成している1つ1つの単項式のことを"項"といいます。
$3xy-5x+4y-1$は$(3xy) + (-5x) + (4y) + (-1) $と見ることができるので、$3xy , -5x , 4y , -1 $の4項から作られています。

多項式の次数は「各項の次数のうち、最大のもの」と決められており、
 $3xy・・・2次$   $-5x・・・1次$   $4y・・・1次$   $ -1・・・0次(定数項という) $  なので、
最大の次数は2次。 2次式と答えます。
文字の数を数えるだけなら難しくはありません。

さて、この"次数"という考え方ですが、、、

中学で"1次関数"とか"2次方程式"とかいう言葉を習ったはずです。

あの"1次"とか"2次"とかいうのが次数のこと。

例えば $ 5x-3=-2x+1 $ のような方程式を"1次方程式"といいますが、
これを整理すれば $7x+4=0$ となって、左辺が1次式になりますよね。
1次式で表わされる方程式だから"1次方程式"、2次式で表されれば"2次方程式"というわけです。
だから、$y=3x-1$のように、$y$が$x$の1次式で表される関数は"1次関数"と呼ばれます。


さて、そこで。
$ax+b$っていう式を見たら、これ、何次式でしょうか?

上で確認した次数の決め方を馬鹿正直になぞるのであれば、
 $ax・・・2次$   $b・・・1次$   ですから、2次式、、、でしょうか。

じゃぁ、関数$y=ax+b$ という式を見たとき、2次関数って言いますかね?
おそらく「これは1次関数の式でしょ」と答えるはずです。

正確に言うと 「$x$についての1次関数」 と表現されます。
これは先ほど出した$y=3x-1$のように「$a$や$b$の場所には、なんらかの数字が入る」ということが前提になっているわけです。
「$a,b$にはなんらかの数字が入って、$x$だけが文字として残るよ」という意味で「$x$についての」なんていう言い方をするわけです。

数式に含まれる文字には、主役と脇役があるのです

つまり、場面によっては、「文字式の文字には、"数字扱いする文字"と"文字として扱う文字"がある」ということになります。
"数字扱いする文字"のことを"定数"といい、"文字として扱う文字"のことを"変数"といったりします。

2次方程式の解の公式で $ax^2+bx+c=0$ という式が出てきますが、$a,b,c$は数字が入るべき"定数"であって、方程式の主役である"文字"はあくまで「$x$ 1文字だけ」と考えているわけですね。


長くなったので(2)は次回で。
教室で話すと10分で終わるんですけど、書くと長いですねぇ。。。(苦笑)

今回紹介する「定数扱いする文字を含んだ式の見方」って、高校数学ではホントに大切なはずなんですが、学校では考え方もほとんど触れずにさらっと通過するんですよね。。。
ここのところ教科指導的な内容にほとんど触れていなかったので、ちょっとは元数学教師っぽいところも見せてみようかと。

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データから考える、高校受験のその先 2.1

前回・前々回にひき続いて『その3』を作成中なんですが、どうにも上手くまとまらないので前の2つを読み返していました。

で、自分で書いたものなのに、アチラコチラのファイルを参照しながらというのはやはり読みにくいなぁと。。。(苦笑)

そんなわけで、前の2つの参照元から、該当箇所のグラフを抜き出して貼り直しておきました。

本当はきちんとファイルを開いて数値や分析の内容まで読んでみて頂けるのがいいんですが、アレコレとファイルを開くだけの時間的余裕が無い方も居るでしょうし、環境によってはPDFをそうそう開いてもみられないでしょうから。

高校でなら、学校で回収した生徒のデータと照らしあわせてみたりすれば、在校生・保護者向けの進路説明会なんかで面白いプレゼンが作れそうなんですが、ね。



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中学でも高校でも、学校によってはあまり進路の情報が流されていないと聞きますので、ちょっとでも進路を考える切っ掛けになればいいかなぁと思いつつのんびりと書いています。

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2013年5月12日日曜日

データから考える、高校受験のその先 2

前回は、「明確な志望をもって高校受験を突破した生徒と、自分の現状に合わせて不本意な選択をした生徒とでは、その後の気持ちの持ちようも違うようだ」ということをデータから拾い上げてみました。今回はこちら、『大学生の学習・生活実態調査』の報告から、いくつかのデータを抜粋してみます。
 http://benesse.jp/berd/center/open/report/daigaku_jittai/2012/hon/index.html
 (こちらはPDFで配布されているので、参照していただくデータへのリンクの貼り方が難しいんですが)


まず、前提として「どんな回答者を対象にした調査か」ですが、対象は「大学生5000人」となっています。

次のファイルのページ番号151ページ(←PDFファイルのではなく、フッター部分に記載されている報告の通し番号です)
 http://benesse.jp/berd/center/open/report/daigaku_jittai/2012/hon/pdf/data_20.pdf 

[13]という質問項目が『どのような高校を卒業したか』という内容になっています。
85%以上の回答者が「中堅大学以上の進学が多い」となっており「就職/専門学校進学が多い」という学校からの回答者はほとんどいません。
高校で行う進研模試の偏差値で言うなら平均偏差値が45以上、高校入試の道コン偏差値で言うならSS50(塾の周辺で言えば石狩南辺り)以上の学校と考えていいでしょう。
前回の高校受験でのデータと比べ、高校自体が中堅以上のいわゆる進学校に絞られていますから、進学意識は強く、学力も高校受験で言えば中位より上だった層が今回の回答者です。

さて、次のファイルの31ページを見ますと、『大学を選ぶ際に重視したこと』という項目があります。

 http://benesse.jp/berd/center/open/report/daigaku_jittai/2012/hon/pdf/data_08.pdf
"進学意識のそこそこあるはずの高校生"であったはずの回答者ですが、回答を見ると「入試難易度が合っていること」が半数、「入試方式が合っていること」が3割と、入試のシステムに関わる部分での選択がものすごく目立ちます。
もちろん、高校入試と大学入試とで比べた場合、大学入試は志望する学校によってその難しさや倍率が段違いに違いますから、受験戦略的にはこの選択は妥当です。
しかし、この選択肢が高いということは、"学校や学問分野で選ぶ志望校"と"高3時点の学力から判断した現実的な受験校"が一致しない可能性を強く示唆しています。

では、この「入学した大学が行きたかった大学とは違うんだけど」という学生たちは、どっかの時点で大学生活に満足できるんでしょうか。
72ページの図2-4-3に『大学適応度(大学志望順位別)』という項目があります。

 http://benesse.jp/berd/center/open/report/daigaku_jittai/2012/hon/pdf/data_13.pdf
案の定、第3志望以下だった大学に入学した学生は「他の大学へ入り直したい」とか「大学を辞めて他の進路に向かいたい」という回答が多くなっています。

同じく大学に対する適応度を"入試偏差値"という別な尺度~つまりは「どれくらい入りやすいか」という観点で整理したものが1つ前の図2-4-2です。

偏差値の低い"入りやすい大学"ほど「他の大学へ入り直したい」という割合が目立ちますね。

もちろん、「そう思ったことがある」というのと「実際に辞めてしまった」の間にはかなりの開きがあるとは思います。
でも、この「入り直したい」とか「大学を辞めたい」という考えって、前回の「高校生活を楽しめない高1生」と姿がかぶります。

その『方向転換したい理由』というのが、73ページの表2-4-1です。

つまるところ、
やりたいことよりも入りやすさを優先し目標を下げたりしたことで"誰にとっても入りやすい学校"を選ぶことになった→その結果、「学校の質が悪い」と嘆いている という感じでしょうか。

ではさらに"その前"を掘り返してみましょう。
「じゃぁそもそも、なんでその"辞めたくなるような大学"しか選択肢がなかったの?」と。
  http://benesse.jp/berd/center/open/report/daigaku_jittai/2012/hon/pdf/data_08.pdf
このファイルの29ページ図1-1-1を見ると、『どの時期から入試対策を行ったか』が見えます。

大学受験の準備をしだしたのは、高校3年になる前から」というのが約3割、残りの7割が「3年生から」になっています。

図1-1-3を細かく見ると、高2の秋に小さな山があるのに気付くかと思います。
ここはおそらく「修学旅行後」ということですね。
つまり、その頃には既に志望校がおぼろげながら確定しており、受験の準備を本格的に始めた生徒がいるということです。

ここは次のファイルの88ページがわかりやすいでしょう。

 http://benesse.jp/berd/center/open/report/kou_databook/2013/pdf/P82-105.pdf
『志望校を選びはじめた時期』 『決定した時期』 『最終的に現在の進学先(大学)を選んだ時期』のグラフが併記されていますが、「3年生に入ってから選び始める」というのは明らかに出遅れている感があります。
もう一個面白いのが、同ファイル97ページの図5-2-6。

受験対策を最後まで諦めずに頑張りきれた子の方が、実は早い段階から準備をし始めています。
決して「短期決戦だから集中できた」 というわけではないのです。
進路意識をしっかり持っている子は、最期までやり切るだけのモチベーションを持っていた」とも読めますし、逆に「遅く始めた子は、どこかの時点で間に合わないと分かって結局方針転換をしたり妥協をしたりした」とも読み取れます。



どうです?
こういうデータを見てからも、「高校受験は高校受験でとりあえず入ればヨシ、その先はまた改めて考えればいいや」と言えるでしょうか?
自分の将来に関してってのは、案外と早い段階から真剣に向き合う必要があるような気がします。

次回も、もうちょっと進路意識の形成とその後の進路について考えてみます。



~~~~~~


高2生・高3生を抱えているため、日常会話の中で少しずつですが、進路志望を聞き、それに沿った情報収集をしています。
志望校や目指したい方向性をリストアップしてもらって、受験科目の確認をし、今後の学習計画をある程度考えてというところまでしか出来ませんが。
学校の方では、抱えている生徒が多くて場合によってはそこまで見ては貰えないでしょうからね。。。


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