2013年5月22日水曜日

【高校数学】 範囲に定数を含んだ不等式

大半の高1生がつまづくであろう高校数学の重要箇所を、大雑把に何回かで書く予定 の6回目。
  ・数字扱いする文字 (前半/後半)
  ・文字係数の方程式・不等式(その1/その2
  ・範囲に定数を含んだ不等式 ←今回はここー
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

一気に書き上げて終わらす予定が、予定より内容増えた。。。orz
ま、気を取り直してやりましょう。

数直線はとても便利なツールです

まず今回の問題ですが、
【問題】
 (1) 不等式 $5x-4 < 2x+6$ を満たす自然数の個数を求めなさい。
 (2) 不等式 $5x-a \leqq 2x+6$ を満たす自然数$x$の個数がちょうど3個になるような定数$a$の値の範囲を求めなさい。
の(2)について考えるんでした。
と、その前に、前回確認した(1)ですが、これは、

というような感じで、まずは数直線を使って、解の範囲を考えるんでした。
上の数直線の緑で塗られている部分が「不等式を満たす$x$の場所」です。
つまり、「不等式を満たす自然数$x$はこの枠の中にありますよー」ってことなので、見たら確かに3つあることがわかるでしょ?と。

さて、問2に行く前に、補題としてコレはどうでしょう。
【問題】不等式 $\frac{2}{3} < x < a$ を満たす自然数$x$がちょうど3個になるような定数$a$の値の範囲を求めなさい。
まず、問題の意図が理解できるかどうかなんですが、、、

範囲に定数を含む不等式の解釈

$\frac{2}{3} < x < a$ というこの不等式、範囲を図に表してみるとこんな感じになります。

「左端は$\frac23$なんだろうけど、、、右端、薄くなってない?どこ?」って思ったあなた、それが正しい感覚。
つまりですね、さっきの不等式で表されている$x$の範囲は「$\frac23$よりは大きく、でも$a$よりは小さい」という範囲なんですが、その$a$というのがよくわからないわけです。
なぜわからないか。そろそろ慣れたでしょう?「$a$にはいろいろな値が入る可能性があるから」ですね。

$a$の値が2.5だとしましょうか。
もしくは$a$の値が3.4だったらどうでしょう?それから4.2だったら?
いろいろ考えられますよね?

ほら、こんな感じ。

範囲の右端が$a$なんて風に文字式で書かれているせいで、正確な場所がいまいち決められないわけです。
$a$の置き場所によっては枠内の自然数は2個になるし、違う場所なら3個にも4個にもなる。
で、問題を見ると、「不等式を満たす自然数$x$がちょうど3個になるように」と言われている。
つまり、この問題の意図は「じゃぁ右端をどこに置いたら自然数は3つになるの?」というわけです。

というわけで補題の解答を

不等式 $\frac{2}{3} < x < a$ の範囲は左端は$\frac23$と決まっていますから、自然数3個というのは1,2,3の3つのことです。
よって、この問題の場合、右端$a$は「1,2,3までが範囲に入って、4は範囲には入らないようにすれば良い」ということですね。
つまり、

大雑把に言えば3~4の間のどっかに$a$が置かれればいいってことでしょう。
引越し屋みたいなもんです。「あぁ、$a$はその辺に置いといて」みたいな感じ。

これを数学らしく不等式で表すと、問題に合うように自然数が3個になるような 「$a$を置いてもいい範囲」は $3< a< 4$となります。

まずここまでで、大半の生徒が混乱するのは「$a$の範囲を決める」ということに対する違和感なんですね。
「だって、$x$の不等式を解いてたんでしょ?」と頻繁に聞かれ、そして $3 < x< 4$ という不等式を作ろうとします。
コレはやっぱり、問題の意図がわかっていないんだと思うんですよね。
しっかりと頭で整理して置かなければならないのは、
・数直線上に$x$の範囲を図示したいのに、右端の$a$がどの辺りなのかよくわからない
という理解がまず先で、次に
・問題の条件に合うように$a$を置きたいのだが、いったいどこに置いたらいいのだろうか
ということなんだと思います。

数学教師は"大雑把な答え"は許してくれない。。。

というわけで、数直線を見ながら「3~4の辺りなら、枠内の自然数が3個になるよね」まではわかりました。

ただ、、、運送屋さんには「その辺りに置いておいて」で済むんですが、数学ではこの辺がとても厳密です。
「3~4って言うけどさぁ、じゃぁ、3は置いていいの?4はどうなの?」というのが最後のチェック。

もう一度確認してみましょう。
「不等式 $\frac{2}{3} < x < a$の表す範囲に、1,2,3までが範囲に入って、4は範囲には入らないようにすれば良い」ということでした。
では、$a$の値がきっかり3だったらどうでしょう?
不等式の範囲は$\frac{2}{3} < x < 3$となりますから、不等号の意味を考えれば、この範囲に3は含まれないことになります。
つまり、「$a$の置き場所としては3はふさわしくない」ということですね。

もう一方の4ではどうですか?
$\frac{2}{3} < x < 4$という範囲では、右端の4は含まれていませんから、「範囲に3は入って、4は入らないようにする」という条件には適していることがわかります。
つまり、「4の位置に$a$を置いても構わない」ということです。

ここまでのことをまとめると、範囲の右端$a$の場所としては「大雑把には3~4の間、4きっかりでもOK」ということになります。
これを数式では $3< a \leqq 4$と表すわけです。

・・・説明なっがっ!!
いやでも、ほんっっっっっっとうに、ここはパッとは理解出来ないんですよ、みんな。
というわけで、次回はコレを元に
【問題】
 (2) 不等式 $5x-a \leqq 2x+6$ を満たす自然数$x$の個数がちょうど3個になるような定数$a$の値の範囲を求めなさい。
この本題を考えてみましょう。

頑張って文字で打ってはみましたが、ここの考え方ってやはりその場で手を動かしながら、修正しながらでなければなかなか伝わりにくいと思います。
というわけで、、、できれば教室の方に聞きに来ていただけると助かります(笑)

学習相談、進路相談、無料で承ってます。
792-0490もしくはsigmaseminar@gmail.comまでぜひご相談くだい。

記事の感想を教えていただけると嬉しいです
次の投稿 前の投稿 ホーム

0 コメント :

コメントを投稿

記事の検索ができます