2013年5月21日火曜日

【高校数学】 文字を係数に持つ不等式 2

大半の高1生がつまづくであろう高校数学の重要箇所を、大雑把に何回かで書く予定 の5回目。
  ・数字扱いする文字 (前半/後半)
  ・文字係数の方程式・不等式(その1/その2) ←今回もココ
  ・絶対値の場合分け
  ・根号の扱い
  ・2次関数の最大・最小

さて、どこまで順調に続けられるやら。

たぶん、、、関数の場合分けの図表を書く辺りで「うがー」って言いそう。。。
まぁそれでもやれるとこまでやってみましょう。

前回の続きからです

というわけで、こんな問題でした。

【問題】
 (2) $x$についての不等式 $ax +a > 3x-5$ を解きなさい。

大切なのは「文字$a$は数字ですよー」ってことでしたね。
左辺と右辺の両方に$x$の項と定数項が散らばってますから、まずは式を整理するのが第一。
整理すると $(a-3)x > -a-5 $になります。

ここで、次が問題。
両辺を$x$の係数で割り算します。
気をつけなければならないのは「$x$の係数で」という部分です。 まちがっても「$a$で割る」というわけではない。
なぜ強調するかというと、「$a$の値で分ける」と思ってしまう場合が多いからです。
「割る数が$0$かどうか、正か負か」が問題なのですから、この問題の場合は$a-3$の値が問題なのです。

というわけでこんな解答に

以上のことを踏まえて解答を作成します。
【解答】
 $ax +a > 3x-5 より (a-3)x > -a-5 $
 [I]  $a-3 > 0$の場合、つまり$a > 3$のとき、
     両辺を正の数$a-3$で割って、 $x > \frac{-a-5}{a-3}$
 [II]  $a-3 < 0$の場合、つまり$a < 3$のとき、
     両辺を負の数$a-3$で割るので不等号は反転し、 $x < \frac{-a-5}{a-3}$
 [III]  $a-3 = 0$の場合、つまり$a = 3$のとき、
     このとき不等式は $0\times x > -3-5$となり、左辺は確実に$-8$より大きいので、すべての実数$x$について成り立つ 
とまぁ、こんな感じ。
分ける視点はあくまでも「割る数はどうなっているか」であって、実際の$a$の値がどうなっているかはその次の段階です。

これまた頻出の「なかなか理解出来ないらしい問題」を

せっかく不等式を題材にしていますので、同じ不等式の分野でまたちょっと違った問題を解いてみます。
【問題】
 (1) 不等式 $5x-4 < 2x+6$ を満たす自然数の個数を求めなさい。
 (2) 不等式 $5x-a \leqq 2x+6$ を満たす自然数$x$の個数がちょうど3個になるような定数$a$の値の範囲を求めなさい。
(1)はフツーにさらりと大半の高校生が解くんですが、(2)がなんぼ説明してもなっかなかできるようにならないようで。
これも定数$a$というやつの見方が定着しちゃえば大したことはない問題なのですが、、、

"不等式の解"ってのは、「不等式を成立させるような値はどんな範囲に置かれているか」という幅を示しているものです。
例えば(1)の場合、不等式をそのまま解くと $3x < 10$ から $x < \frac{10}{3}$ となりますが、
これはつまり、不等式を成立させることのできる$x$は$\frac{10}{3}$より小さなところに転がってますよーってこと。
この"範囲"の考え方は数直線化すると見やすいので、、、

↑こんな感じ。
そうすると、「あぁ、この範囲に入っている自然数(=正の整数)は1,2,3の3個しかないな」とわかります。

で、問題なのが、(2)です。
この数直線を用いた範囲の考え方と、先の"定数"の理解が必要そうですね。
というところで、次回に回します。

せっかく書くならちょっとでも読みやすく、、、と今更ながら見出しやら囲いやら付けてみました。
その分の手間はかかるわけですが、見た感じはどうでしょうか?

学習相談、進路相談、無料で承ってます。
792-0490もしくはsigmaseminar@gmail.comまでぜひご相談くだい。

記事の感想を教えていただけると嬉しいです
次の投稿 前の投稿 ホーム

0 コメント :

コメントを投稿

記事の検索ができます